Question

（2013•朝陽(yáng)區(qū)二模）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F(xiàn)，G，H分別為BP，BE，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：FG∥平面PDE；
（Ⅱ）求證：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅲ）在線(xiàn)段PC上是否存在一點(diǎn)M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出線(xiàn)段PM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)證明FG∥PE，再根據(jù)直線(xiàn)和平面平行的判定定理證得結(jié)論．
（Ⅱ）先證明EA⊥CB、CB⊥AB，可得CB⊥平面ABE．再根據(jù)FH∥BC，則FH⊥平面ABE．
（Ⅲ）在線(xiàn)段PC上存在一點(diǎn)M，滿(mǎn)足條件．先證明PE=BE，根據(jù)F為PB的中點(diǎn)，可得EF⊥PB．要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM即可．此時(shí)，則△PFM∽△PCB，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比列
求得PB、PF、PC的值，可得PM的值．

解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)镕，G分別為PB，BE的中點(diǎn)，所以FG∥PE．
又因?yàn)镕G?平面PED，PE?平面PED，所以，F(xiàn)G∥平面PED．…（4分）
（Ⅱ）因?yàn)镋A⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．
又因?yàn)镃B⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE．
由已知F，H分別為線(xiàn)段PB，PC的中點(diǎn)，所以FH∥BC，則FH⊥平面ABE．
而FH?平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE．…（9分）
（Ⅲ）在線(xiàn)段PC上存在一點(diǎn)M，使PB⊥平面EFM．證明如下：
在直角三角形AEB中，因?yàn)锳E=1，AB=2，所以BE=

5

．
在直角梯形EADP中，因?yàn)锳E=1，AD=PD=2，所以PE=

5

，
所以PE=BE．又因?yàn)镕為PB的中點(diǎn)，所以EF⊥PB．
要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM．
因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因?yàn)镃B⊥CD，PD∩CD=D，
所以CB⊥平面PCD，而PC?平面PCD，所以CB⊥PC．
若PB⊥FM，則△PFM∽△PCB，可得

PM

PB

=

PF

PC

．
由已知可求得PB=2

3

，PF=

3

，PC=2

2

，所以PM=

3 2

2

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)和平面平行的判定定理的應(yīng)用，直線(xiàn)和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．