Question

已知離心率e=

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)一個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=

4 2

3

，求直線l方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率e=

2

2

，一個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0），求出橢圓的幾何量，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l方程為y=x+m，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式，求出m，即可求直線l方程．

解答：解：（Ⅰ）由題知c=1，e=

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，b=1，（3分）
∴橢圓C：

x2

2

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線l方程為y=x+m，點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程組

x2 2 +y2=1 y=x+m

（6分）
化簡(jiǎn)得：3x²+4mx+2m²-2=0，
由△=16m²-12（2m²-2）=-8m²+24＞0，可得m²＜3．（8分）
∵x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

，
∴|AB|=

1+k2

|x2-x1|=

2

•

(x2+x1)2-4x1x2

，（9分）
=

2

•

-8m2+24 9

=

4 2

3

，
解得m=±1．（11分）
∴直線l方程y=x+1或y=x-1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的幾何性質(zhì)為載體考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長的計(jì)算，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．