Question

19．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的周期為π，且圖象上有一個最低
點為M（$\frac{2π}{3}$，-3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意知：A=3，ω=2，由3sin（2×$\frac{2π}{3}$+φ）=-3，得φ+$\frac{4π}{3}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，而0＜φ＜$\frac{π}{2}$，所以確定φ的值，故f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得到2kπ-$\frac{2π}{3}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解出即可．

解答 解：（1）由題意知：A=3，ω=2，
由3sin（2×$\frac{2π}{3}$+φ）=-3，
得φ+$\frac{4π}{3}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即φ=$\frac{-11π}{6}$+2kπ，k∈Z，
而0＜φ＜$\frac{π}{2}$，所以k=1，φ=$\frac{π}{6}$，
故f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由題意得：2kπ-$\frac{2π}{3}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
即2kπ-$\frac{2π}{3}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{3}$，
∴kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
故函數(shù)的遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．

點評 本題主要考察了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，屬于基本知識的考查．