Question

拋物線y²=2px（p＞0）上任一點Q到其內(nèi)一點P（3，1）及焦點F的距離之和的最小值為4．
（1）求拋物線的方程；
（2）設動直線y=kx+b與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，且|y₁-y₂|的值為定值a（a＞0），過弦AB的中點M作平行于拋物線的軸的直線交拋物線于點D，求△ABD的面積．

Answer 1

解：（1）如圖所示，由拋物線定義，，∴p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x．
（2）如下圖：由得=0，
∴．
∴．
∴|DM|=．
∴．
∵|y₁-y₂|====a，
∴．
分析：（1）如圖所示：過點P作PM⊥l交準線l、拋物線分別于點M、Q，根據(jù)拋物線的定義得|QF|=|QM|，可知：當三點P、Q、M共線時，|QF|+|QP|Q取得最小值．
（2）將直線與拋物線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)x得到關于另一個未知數(shù)y的一元二次方程，據(jù)根與系數(shù)的關系可得線段AB的中點M的坐標，進而求得D的坐標，于是求出|DM|．再根據(jù)可計算出，另一方面|y₁-y₂|=a，得出一個關系式，進而計算出面積．
點評：正確理解拋物線的定義，掌握直線與圓錐曲線相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關系的一般方法是解題的關鍵．