Question

給出以下命題：
①已知向量

OP1

，

OP2

，

OP3

滿足條件

OP1

+

OP2

+

OP3

=0，且|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1，則△P₁P₂P₃為正三角形；
②已知a＞b＞c，若不等式

1

a-b

+

1

b-c

＞

k

a-c

恒成立，則k∈（0，2）；
③曲線y=

1

3

x³在點（1，

1

3

）處切線與直線x+y-3=0垂直；
④若平面α⊥平面γ，平面β∥平面γ，則α∥β．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：①由條件

OP1

+

OP2

+

OP3

=

0

，則點O為重心，又|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1，則O又為外心，故O為中心，即可判斷；
②分離參數(shù)，得k＜（a-c）（

1

a-b

+

1

b-c

）恒成立，運用基本不等式，求出最小值4，即可得到k的范圍；
③求出導(dǎo)數(shù)，代入切點的橫坐標(biāo)即得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，即可判斷；
④通過面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，即可判斷．

解答： 解：①已知向量

OP1

，

OP2

，

OP3

滿足條件

OP1

+

OP2

+

OP3

=

0

，則點O為重心，
又|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1，則O又為外心，故O為中心，即△P₁P₂P₃為正三角形，故①正確；
②已知a＞b＞c，若不等式

1

a-b

+

1

b-c

＞

k

a-c

恒成立，則k＜（a-c）（

1

a-b

+

1

b-c

）恒成立，
由a-b，b-c＞0，則（a-c）（

1

a-b

+

1

b-c

）=（（a-b）+（b-c））（

1

a-b

+

1

b-c

）
≥2

(a-b)(b-c)

•2

1 a-b • 1 b-c

=4，故k＜4，故②錯誤；
③設(shè)曲線y=

1

3

x³在點（1，

1

3

）處切線的斜率為k，y′=x²，則k=1，而直線x+y-3=0的斜率為-1，
則切線與直線x+y-3=0垂直，故③正確；
④若平面α⊥平面γ，平面β∥平面γ，則在α內(nèi)作一直線m垂直于α，γ的交線，
由面面垂直的性質(zhì)定理得，m⊥γ，由于β∥γ，則m⊥β，由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故④錯誤．
故答案為：①③．

點評：本題考查平面向量及應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的運用求切線和面面平行、垂直的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．