Question

設(shè)過原點(diǎn)O的直線與圓C：x²+（y-1）²=1相交于兩點(diǎn)O，P，點(diǎn)M為線段OP的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程，并說明它表示什么曲線．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）圓C：x²+（y-1）²=1，即圓x²+y²-2y=0，求得圓的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（ρ₁，θ₁），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（ρ，θ），根據(jù)點(diǎn)M為線段OP的中點(diǎn)，可得ρ₁=2ρ，θ₁=θ，將ρ₁=2ρ，θ₁=θ代入圓的極坐標(biāo)方程，求得點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程．

解答： 解：（Ⅰ）圓C：x²+（y-1）²=1，即圓x²+y²-2y=0，
∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=2；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（ρ₁，θ₁），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（ρ，θ），
∵點(diǎn)M為線段OP的中點(diǎn)，∴ρ₁=2ρ，θ₁=θ，
將ρ₁=2ρ，θ₁=θ代入圓的極坐標(biāo)方程，得ρ=sinθ．
∴點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=sinθ，它表示圓．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程的方法，求點(diǎn)的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題．