Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-x-lnx，是否存在正實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）的極小值小于0，若存在，求出a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由已知得f′（x）=ax-1-

1

x

=

ax2-x-1

x

，令f'（x）=0，得ax²-x-1=0，這個二次函數(shù)開口向上，所以函數(shù)是增減增，要求出大的導(dǎo)根就是極小點．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：f（x）=

1

2

ax²-x-lnx
f′（x）=ax-1-

1

x

=

ax2-x-1

x

，
令f'（x）=0，即ax²-x-1=0，這個二次函數(shù)開口向上，
所以函數(shù)是增減增，要求出大的導(dǎo)根就是極小點．
求根公式得到x=

1+ 1+4a

2a

，
代入f（x）min=

2a-1- 1+4a

4a

-ln

1+ 1+4a

2a

=

1

2

+

-1- 1+4a

4a

-ln

1+ 1+4a

2a

，
令t=

1+ 1+4a

2a

=

2

1+4a -1

，
可見t＞0，把最小值看成關(guān)于t的函數(shù)，
則f(x)min=g(t)=

1

2

-

t

2

-lnt，
g′(t)=-

1

2

-

1

t

，∴g（t）是減函數(shù)，
∵g（1）=0，∴t＞1，
∴

2

1+4a -1

＞1，解得a＜2，
又a＞0，∴0＜a＜2．

點評：本題主要考查實數(shù)取值范圍的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．