已知向量
a
=(sinx，-cosx)，
b
=(
3
cosx，cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)=
a
•
b
-
1
2
；
（1）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[
π
4
，
π
2
]求函數(shù)f（x）的最值及對應(yīng)的x的值；-
（3）若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[
π
4
，
π
2
]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式 化簡f（x）的解析式為sin(2x-
π
6
)-1，由-
π
2
+2kπ≤2x-
π
6
≤
π
2
+2kπ 
求得x的范圍，即可得到f（x）=
a
•
b
-
1
2
的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）根據(jù)x的范圍可得到2x-
π
6
的范圍，利用f（x）單調(diào)性和值域求出f（x）的最值．
（3）|f（x）-m|＜1?m-1＜f（x）＜m+1，故有 m-1＜-
1
2
，且m+1＞0，解不等式求得m的范圍．
解答：解：（1）由已知得f（x）=
a
•
b
-
1
2
=
3
sinxcosx-cos2x-
1
2

=
3
2
sin2x-
1+cos2x
2
-
1
2
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x-1=sin(2x-
π
6
)-1．
由 -
π
2
+2kπ≤2x-
π
6
≤
π
2
+2kπ得：-
π
6
+kπ≤x≤
π
3
+kπ（k∈z），
所以f（x）=
a
•
b
-
1
2
的單調(diào)遞增區(qū)間為{x|-
π
6
+kπ≤x≤
π
3
+kπ，k∈z}．
（2）由（1）知f(x)=sin(2x-
π
6
)-1，∵x∈[
π
4
，
π
2
]，所以 
π
3
≤2x-
π
6
≤
5π
6
，
故 當(dāng) 2x-
π
6
=
π
2
時，即x=
π
3
時，f（x）max=0，當(dāng)2x-
π
6
=
5π
6
時，即x=
π
2
時，f(x)min=-
1
2
．
（3）|f（x）-m|＜1?m-1＜f（x）＜m+1∴m-1＜-
1
2
，且m+1＞o；故m的范圍為（-1，
1
2
）．
點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問題，是一道中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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