Question

6．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿(mǎn)足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=6，|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|，且$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$，則|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的取值范圍為（　�。�

• A． [4，8]
• B． [4$\sqrt{2}$，8$\sqrt{2}$]
• C． （4，8）
• D． （4$\sqrt{2}$，8$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）與$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，由向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)有|$\overrightarrow$|²=[（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）-$\overrightarrow{a}$]²=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²-2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$+|$\overrightarrow{a}$|²=40-24cosθ，分析可得|$\overrightarrow$|的范圍，又由|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|，且$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$，則|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow$|，分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）與$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，$\overrightarrow$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）-$\overrightarrow{a}$，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=6，
則|$\overrightarrow$|²=[（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）-$\overrightarrow{a}$]²=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²-2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$+|$\overrightarrow{a}$|²=40-24cosθ，
即16≤|$\overrightarrow$|²≤64，
分析可得：4≤|$\overrightarrow$|≤8，
又由|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|，且$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$，則|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow$|，
則有4$\sqrt{2}$≤|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|≤8$\sqrt{2}$，
故|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的取值范圍為[4$\sqrt{2}$，8$\sqrt{2}$]，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量加減以及模的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握向量的加減法的幾何意義．