Question

（理科）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?span id="tz3fjzn" class="MathJye">R，若存在常數(shù) M＞0，使|f(x)|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù) x均成立，則f（x）為β函數(shù)．現(xiàn)給出如下4個(gè)函數(shù)：（1）f（x）=0；f（x）=x²；f（x）=

2

（sinx+cosx）；f（x）=

x

x2+x+1

．其中是β函數(shù)的序號(hào)是

（1）（4）

．

Answer 1

分析：對(duì)于（1）取M＞0的任意一值都符合定義，對(duì)于（2）不存在這樣的M滿足定義，對(duì)于（3）由于x=0時(shí)，|f（x）|≤M|x|不成立，不滿足定義，對(duì)于（4），|f（x）|=

1

x2+x+1

|x|≤

4

3

|x|，故對(duì)任意的M≥

4

3

滿足定義，可得結(jié)論．

解答：解：由題意
對(duì)于（1）f（x）=0，顯然對(duì)任意常數(shù)M＞0，均成立，故f（x）為β函數(shù)；
對(duì)于（2），|f（x）|≤M|x|，顯然不成立，故其不是β函數(shù)；
對(duì)于（3），f(x)=

2

(sinx+cosx)，由于x=0時(shí)，|f（x）|≤M|x|不成立，故不是β函數(shù)；
對(duì)于（4），f(x)=

x

x2+x+1

，|f（x）|=

1

x2+x+1

|x|≤

4

3

|x|，故對(duì)任意的M≥

4

3

，都有|f（x）|≤M|x|，故是β函數(shù)；
故答案為：（1）（4）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，主要考查根據(jù)所給的新定義來驗(yàn)證函數(shù)是否滿足定義中的規(guī)則，屬于中檔題．