Question

13．設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R₊上的函數(shù)，并且滿足下面三個(gè)條件：（1）對(duì)任意正數(shù)x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0；（3）f（3）=-1，
（1）求f（1）、$f（\frac{1}{9}）$的值；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明
（3）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別令x=y=1，x=y=3，可得f（1）和f（9），再令x=9，y=$\frac{1}{9}$，可得f（$\frac{1}{9}$）；
（2）f（x）在（0，+∞）遞減．運(yùn)用單調(diào)性的定義，結(jié)合條件（2），即可得到結(jié)論；
（3）由題意可得f[x（2-x）]＜2=f（$\frac{1}{9}$），由f（x）在（0，+∞）遞減，得到不等式組，解不等式求交集，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）令x=y=1，可得f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），
可得f（1）=0；
令x=y=3，則f（9）=f（3）+f（3）=-2，
令x=9，y=$\frac{1}{9}$，可得f（1）=f（9）+f（$\frac{1}{9}$），
即有f（$\frac{1}{9}$）=f（1）-f（9）=0-（-2）=2；
（2）f（x）在（0，+∞）遞減．
理由：設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，可得f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
又f（x₂）=f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜f（x₁），
則f（x）在（0，+∞）遞減；
（3）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜2=f（$\frac{1}{9}$），
由f（x）在（0，+∞）遞減，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2-x＞0}\\{x（2-x）＞\frac{1}{9}}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＜2}\\{1-\frac{2\sqrt{2}}{3}＜x＜1+\frac{2\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，
解得1-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$＜x＜1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
則x的取值范圍為（1-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，注意運(yùn)用賦值法，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，注意運(yùn)用定義法，考查單調(diào)性的運(yùn)用：解不等式，注意函數(shù)的定義域，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．