3.如圖,在平面四邊形ABCD中,DA⊥AB,CE⊥BE,DE=1,DC=2,AB=2$\sqrt{7}$,∠CDE=$\frac{2π}{3}$
(Ⅰ)求sin∠CED的值及BC的長;
(Ⅱ)求四邊形ABCD的面積.

分析 (Ⅰ)由已知及余弦定理可求CE的值,進而利用正弦定理可求sin∠CED=$\frac{CD•sin∠CDE}{CE}$的值.
(Ⅱ)由∠CED+∠AEB=$\frac{π}{2}$,∠ABE+∠AEB=$\frac{π}{2}$,及(Ⅰ)可求sin∠ABE=$\frac{\sqrt{21}}{7}$,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos∠ABE,在直角三角形△ABE中,可求BE,AE的值,進而利用三角形面積公式即可計算得解.

解答 解:(Ⅰ)∵DE=1,DC=2,∠CDE=$\frac{2π}{3}$,
∴由余弦定理可得:CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}-2CD•DE•cos∠CDE}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}-2×1×2×(-\frac{1}{2})}$=$\sqrt{7}$,
∴由正弦定理$\frac{CE}{sin∠CDE}=\frac{CD}{sin∠CED}$,可得:sin∠CED=$\frac{CD•sin∠CDE}{CE}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$.
(Ⅱ)∵∠CED+∠AEB=$\frac{π}{2}$,∠ABE+∠AEB=$\frac{π}{2}$,
∴sin∠ABE=sin∠CED=$\frac{\sqrt{21}}{7}$,cos∠ABE=$\sqrt{1-(\frac{\sqrt{21}}{7})^{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$,tan∠ABE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵AB=2$\sqrt{7}$,
∴在△ABE中,由cos∠ABE=$\frac{AB}{BE}$,可得:BE=$\frac{AB}{cos∠ABE}$=$\frac{2\sqrt{7}}{\frac{2\sqrt{7}}{7}}$=7,AE=BE•sin∠ABE=7×$\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\sqrt{21}$,
∴S四邊形ABCD=S△CDE+S△CBE+SABE=$\frac{1}{2}DE•CD•sin∠CDE$+$\frac{1}{2}$BE•CE+$\frac{1}{2}AB•AE$=$\frac{1}{2}$×$1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}×7×\sqrt{7}$+$\frac{1}{2}×2\sqrt{7}×\sqrt{21}$=$\frac{15\sqrt{3}+7\sqrt{7}}{2}$.

點評 本題主要考查了余弦定理,正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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15.在對吸煙與患肺癌這兩個因素的研究計算中,下列說法中正確的是( 。
A.若統(tǒng)計量X2>6.64,我們有99%的把握說吸煙與患肺癌有關(guān),則某人吸煙,那么他有99%的可能患肺癌
B.若從統(tǒng)計中得出,有99%的把握說吸煙與患肺癌有關(guān),則在100個吸煙者中必有99個人患有肺病
C.若從統(tǒng)計量中得出,有99%的把握說吸煙與患肺癌有關(guān),是指有1%的可能性使得推斷錯誤
D.以上說法均不正確

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

16.已知函數(shù)f(x)=ex-ax2+1的定義域為R,其導函數(shù)為f'(x)
(1)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=1,證明:$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$>2-2ln2,其中x1≠x2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

11.圖1為一簡單組合體,其底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=AD=2EC=2.

(1)圖2方框內(nèi)已給出了該幾何體的俯視圖,請在方框內(nèi)畫出該幾何體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖;
(2)求證:BE∥平面PDA.
(3)求四棱錐B-CEPD的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

18.已知cosα=-$\frac{4}{5}$,且α∈($\frac{π}{2}$,π),則tan($\frac{π}{4}$-α)=7.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

8.給出以下四個判斷,其中正確的判斷是( 。
A.函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱是f(x)具有奇偶性的充分不必要條件
B.命題“若x≥4且y≥2,則x+y≥6”的逆否命題為“若x+y<6,則x<4且y<2”
C.若p:?x≥0,x2-x+1>0,則¬p:?x<0,x2-x+1≤0
D.己知n∈N,則冪函數(shù)y=x3n-7為偶函數(shù),且在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞減的充分必要條件為n=1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

15.半徑為1的球O內(nèi)有一個內(nèi)接正三棱柱,當正三棱柱的側(cè)面積最大時,球的表面積與該正三棱柱的側(cè)面積之差是4π-3$\sqrt{3}$.

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12.在等比數(shù)列{an}中,公比q≠1,等差數(shù)列{bn}滿足b1=a1=3,b4=a2,b13=a3
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13.設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在R+上的函數(shù),并且滿足下面三個條件:(1)對任意正數(shù)x、y,都有f(xy)=f(x)+f(y);(2)當x>1時,f(x)<0;(3)f(3)=-1,
(1)求f(1)、$f(\frac{1}{9})$的值;
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明
(3)如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范圍.

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