Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax+3-

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a-a²（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，2）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）記函數(shù)y=f（x）圖象的頂點(diǎn)為P，A（0，2），O（0，0），當(dāng)∠APO最大時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,直線與圓

分析：（Ⅰ）由拋物線f（x）=-x²+2ax+3-

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a-a²開口向下，對(duì)稱軸方程是x=a，在區(qū)間（-∞，2）上為增函數(shù)，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的軌跡，并分析其軌跡與以A，O為直徑圓的位置關(guān)系，可分析出當(dāng)∠APO最大時(shí)，頂點(diǎn)P的位置，進(jìn)而得到P點(diǎn)坐標(biāo)，求出實(shí)數(shù)a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵拋物線f（x）=-x²+2ax+3-

3

a-a²開口向下，
對(duì)稱軸方程是x=a，
在區(qū)間（-∞，2）上為減函數(shù)，
∴a≥2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為：[2，+∞）．
（Ⅱ）∵函數(shù)y=f（x）圖象的頂點(diǎn)為P坐標(biāo)為（a，3-

3

a）
則P點(diǎn)為直線y=-

3

x+3上的動(dòng)點(diǎn)
又∵A（0，2），O（0，0），
故以AO為直徑的圓C，圓心為（0，1），半徑為1
點(diǎn)C到直線y=-

3

x+3的距離d=1，
即直線y=-

3

x+3與圓C相切
故P為切點(diǎn)時(shí)，∠APO最大
由

x2+(y-1)2=1 y=- 3 x+3

得

x= 3 2 y= 3 2

故a=

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．