Question

直線y=kx+1與曲線f（x）=x³+ax+b相切于點(diǎn)A（1，3）
（1）求f（x）；
（2）若g（x）=f（x）+lnx+（t-1）x-x³+x（t∈R），討論函數(shù)g（x）單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線方程求出k的值，即曲線在點(diǎn)A處的切線的斜率，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由
f′（1）等于切線的斜率求得a的值，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入曲線方程求得b的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）把f（x）代入g（x）=f（x）+lnx+（t-1）x-x³+x，整理后求其導(dǎo)數(shù)g′(x)=

1

x

+t-1，然后對t-1
大于等于0和t-1小于0分類討論，當(dāng)t-1≥0時(shí)，g′（x）＞0，原函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)t-1＜0時(shí)，分別由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求解原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）把點(diǎn)A（1，3）代入直線y=kx+1，得3=k+1，
∴k=2．
由f（x）=x³+ax+b，得f′（x）=3x²+a，
∴f′（1）=3+a=2，則a=-1．
把點(diǎn)A（1，3）代入曲線f（x）=x³-x+b，得：
f（1）=1³-1+b=3，
∴b=3．
∴f（x）=x³-x+3；
（2）g（x）=f（x）+lnx+（t-1）x-x³+x=lnx+（t-1）x+3，
g′(x)=

1

x

+t-1（x＞0）．
當(dāng)t-1≥0，即t≥1時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)t-1＜0，即t＜1時(shí)，
由g′（x）＞0，得0＜x＜

1

1-t

，
由g′（x）＜0，得x＞

1

1-t

．
∴g（x）在(0，

1

1-t

)單調(diào)遞增，(

1

1-t

，+∞)單調(diào)遞減；
綜上：當(dāng)t≥1時(shí)，g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)t＜1時(shí)，g（x）在(0，

1

1-t

)單調(diào)遞增，(

1

1-t

，+∞)單調(diào)遞減．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．