Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|+

4

x

．
（1）若f（x）=2恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的值；
（2）若?x∈（0，+∞）都有f（x）≥1恒成立，求a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得，函數(shù)y=|x-a|的圖象（藍(lán)色部分）和函數(shù)y=2-

4

x

的圖象（紅色部分）由2個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得a的范圍．
（2）由題意可得，對(duì)?x∈（0，+∞），f_min（x）≥1．再分①若a≤0和②若a＞0兩種情況，分別求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=|x-a|+

4

x

，
若f（x）=2恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
則函數(shù)y=|x-a|的圖象（藍(lán)色部分）和函數(shù)y=2-

4

x

的圖象
（紅色部分）由2個(gè)交點(diǎn)．
如圖所示：故有a≥2．
（2）若?x∈（0，+∞）都有f（x）≥1恒成立，
故f_min（x）≥1．
①若a≤0，由函數(shù)f（x）=|x-a|+

4

x

=x-a+

4

x

≥4-a≥1，
求得a≤3，故有a≤0．
②若a＞0，當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=x+

4

x

-a≥4-a≥1，∴a≤3，故有0＜a≤3．
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f（x）=a-x+

4

x

 在（0，a）上是減函數(shù)，∴f（x）＞

4

a

≥1，求得a≤4，故有0＜a≤4．
綜上可得，a≤3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．