Question

如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，已知M是AB的中點(diǎn)．求證：

(1)AC₁∥平面B₁CM；

(2)平面B₁D₁C⊥平面B₁CM．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)如上圖，連接BC1交B1C于點(diǎn)N，連接MN，則N是BC1的中點(diǎn)．又因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，所以MN∥AC1．因?yàn)镸N平面B1CM，AC1平面B1CM，所以AC1∥平面B1CM． 　　(2)因?yàn)锳B⊥平面BCC1B1，B1C平面BCC1B1，所以B1C⊥AB．又因?yàn)锽1C⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1．因?yàn)锳C1平面ABC1，所以B1C⊥AC1．同理可得B1D1⊥AC1．因?yàn)锽1D1∩B1C＝B1，所以AC1⊥平面B1D1C．因?yàn)镸N∥AC1，所以MN⊥平面B1D1C．又因?yàn)镸N平面B1CM，所以平面B1D1C⊥平面B1CM．