Question

（2013•普陀區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中，方向向量為

d

=(1，k)的直線l經(jīng)過橢圓

x2

18

+

y2

9

=1的右焦點F，與橢圓相交于A、B兩點
（1）若點A在x軸的上方，且|

OA

|=|

OF

|，求直線l的方程；
（2）若k＞0，P（6，0）且△PAB的面積為6，求k的值；
（3）當k（k≠0）變化時，是否存在一點C（x₀，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0，若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓方程，算出右焦點F坐標為（3，0），結(jié)合橢圓上位于x軸上方的點A滿足|

OA

|=|

OF

|算出A（0，3），由此可得直線l的斜率k=-1，即可求出直線l的方程；
（2）設(shè)直線l：y=k（x-3），與橢圓方程聯(lián)解消去y得（1+2k²）y²+6ky-9k²=0，由根與系數(shù)的關(guān)系算出AB的縱坐標之差的絕對值關(guān)于k的式子，再根據(jù)△PAB的面積為6建立關(guān)于k的方程，化簡整理得k⁴-k²-2=0，解之得k=1（舍負）；
（3）設(shè)直線l方程為y=k（x-3）與橢圓方程聯(lián)解消去y得（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得到

x1+x2= 12k2 1+2k2 x1•x2= 18(k2-1) 1+2k2

，然后化簡k_AD+k_BD=0為關(guān)于x₁、y₁、x₂、y₂和x₀的等式，化簡整理得2kx₁x₂-k（x₀+3）（x₁+x₂）+6kx₀=0，再將前面算出的x₁+x₂和x₁x₂的表達式代入化簡可得x₀=6，由此可得存在一點C（6，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0．

解答：解 （1）∵橢圓方程為

x2

18

+

y2

9

=1
∴a²=18，b²=9，得c=

a2-b2

=3，可得F（3，0）…（1分）
∵|

OA

|=|

OF

|且點A在x軸的上方，…（2分）
∴可得A在橢圓上且|

OA

|=3，得A是橢圓的上頂點，坐標為A（0，3）
由此可得l的斜率k=-1，

d

=(1，-1)…（3分）
因此，直線l的方程為：

x-3

1

=

y-0

-1

，化簡得x+y-3=0…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線l：y=k（x-3）…（5分）
將直線與橢圓方程聯(lián)列

x2 18 + y2 9 =1 y=k(x-3)

，…（6分）
消去x，得（1+2k²）y²+6ky-9k²=0…（7分）
由于△＞0恒成立，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得

y1+y2=- 6k 1+2k2 y1•y2=- 9k2 1+2k2

…（8分）
∴|y1-y2|=

6|k| 2(1+k2)

1+2k2

=

6k 2(1+k2)

1+2k2

…（9分）
因此，可得S_△PAB=

1

2

×|PF|×|y1-y2|=

1

2

×3×

6k 2(1+k2)

1+2k2

=6
化簡整理，得k⁴-k²-2=0，由于k＞0，解之得k=1…（10分）
（3）假設(shè)存在這樣的點C（x₀，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0，
根據(jù)題意，得直線l：y=k（x-3）（k≠0）
由

x2 18 + y2 9 =1 y=k(x-3)

消去y，得（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0…（12分）
由于△＞0恒成立，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得

x1+x2= 12k2 1+2k2 x1•x2= 18(k2-1) 1+2k2

…（*）…（13分）   
而kAD=

y1

x1-x0

，kBD=

y2

x2-x0

，…（14分）
∴kAD+kBD=

y1

x1-x0

+

y2

x2-x0

=

k(x1-3)

x1-x0

+

k(x2-3)

x2-x0

=

k(x1-3)(x2-x0)+k(x2-3)(x1-x0)

(x1-x0)(x2-x0)

=0
由此化簡，得2kx₁x₂-k（x₀+3）（x₁+x₂）+6kx₀=0，…（15分）
將（*）式代入，可得

36k(k2-1)

1+2k2

-

12k3(x0+3)

1+2k2

+6kx0=0，解之得x₀=6，
∴存在一點C（6，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0．…（16分）

點評：本題給出橢圓方程，在直線l經(jīng)過橢圓的右焦點F且交橢圓于A、B兩點且滿足|

OA

|=|

OF

|的情況下求直線l的方程，并且討論了x軸上是否存在一點C使得直線AC和BC的斜率之和為0的問題．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識點，屬于中檔題．