Question

13．設(shè)有一顆彗星，圍繞地球沿一拋物線軌道運(yùn)行，地球恰好位于這條拋物線的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球?yàn)閐萬千米時(shí)，經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為30°，求這顆彗星與地球的最短距離．

Answer 1

分析 設(shè)彗星所在的拋物線的方程為y²=2px（p＞0），求得焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義和直線的斜率公式，建立方程組，解方程，可得p，再由拋物線的性質(zhì)可得最短距離為$\frac{1}{2}$p，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)彗星所在的拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
焦點(diǎn)F為（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
設(shè)|PF|=d，直線PF的傾斜角為30°，
設(shè)P（m，n），由拋物線的定義可得d=m+$\frac{p}{2}$，①
又n²=2pm，②，$\frac{n-0}{m-\frac{p}{2}}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$③，
由①②③解得p=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$d或$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$d．
由拋物線的性質(zhì)可得拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為$\frac{1}{2}$p，
即有這顆彗星與地球的最短距離為$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$d（萬千米），或$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$d（萬千米）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的實(shí)際應(yīng)用，考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．