Question

已知四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G、H分別是CE、CF的中點．
（1）求證：平面AEF∥平面BDGH
（2）若平面BDGH與平面ABCD所成的角為60°，求直線CF與平面BDGH所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）平面AEF內(nèi)兩條相交直線EF與OG分別平行平面BDGH內(nèi)的兩條相交直線GH與OG，利用平面與平面平行的判定定理證明即可．
（2）取EF的中點N，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，BF=t，求出B、C、F、H坐標(biāo)，求出平面BDGH的一個法向量，平面ABCD的法向量，利用向量的數(shù)量積，結(jié)合二面角的大小，求出t，然后求出直線CF與平面BDGH所成的角的正弦值．
解答：解：（1）G、H分別是CE、CF的中點
所以EF∥GH--------①--------（1分）
連接AC與BD交與O，因為四邊形ABCD是菱形，所以O(shè)是AC的中點
連OG，OG是三角形ACE的中位線OG∥AE---------②-------3 分
由①②知，平面AEF∥平面BDGH--------------（4分）
（2）BF⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，所以BF⊥平面ABCD---------（5分）
取EF的中點N，ON∥BF∴ON⊥平面ABCD，
建系
設(shè)AB=2，BF=t，
則，---------------（6分）
設(shè)平面BDGH的法向量為，
所以
平面ABCD的法向量---------------------------（9分）
，所以t²=9，t=3---------------（10分）
所以，
設(shè)直線CF與平面BDGH所成的角為θ，
-----------------（12分）
點評：本題考查空間向量求解二面角以及直線與平面所成角的求法，平面與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力，邏輯推理能力以及計算能力的應(yīng)用．