Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋c(a，b，c為實(shí)數(shù)，且a≠0)，F(x)＝.

(1)若f(－1)＝0，曲線y＝f(x)通過(guò)點(diǎn)(0,2a＋3)，且在點(diǎn)(－1，f(－1))處的切線垂直于y軸，求F(x)的表達(dá)式；

(2)在(1)的條件下，當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，g(x)＝kx－f(x)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)設(shè)mn<0，m＋n>0，a>0，且f(x)為偶函數(shù)，證明F(m)＋F(n)>0.

Answer 1

 [解析]　(1)因?yàn)?i>f(x)＝ax²＋bx＋c，所以f ′(x)＝2ax＋b.

又曲線y＝f(x)在點(diǎn)(－1，f(－1))處的切線垂直于y軸，故f ′(－1)＝0，

即－2a＋b＝0，因此b＝2a.①

因?yàn)?i>f(－1)＝0，所以b＝a＋c.②

又因?yàn)榍�線y＝f(x)通過(guò)點(diǎn)(0,2a＋3)，

所以c＝2a＋3.③

解由①，②，③組成的方程組得，a＝－3，b＝－6，c＝－3.

從而f(x)＝－3x²－6x－3.

所以F(x)＝.

(2)由(1)知f(x)＝－3x²－6x－3，

所以g(x)＝kx－f(x)＝3x²＋(k＋6)x＋3.

由g(x)在[－1,1]上是單調(diào)函數(shù)知：

－≤－1或－≥1，

得k≤－12或k≥0.

(3)因?yàn)?i>f(x)是偶函數(shù)，可知b＝0.

因此f(x)＝ax²＋c.

又因?yàn)?i>mn<0，m＋n>0，可知m，n異號(hào)．

若m>0，則n<0.

則F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am²＋c－an²－c

＝a(m＋n)(m－n)>0.

若m<0，則n>0.

同理可得F(m)＋F(n)>0.

綜上可知F(m)＋F(n)>0.