Question

直角三角形ABC的直角頂點C在平面N內(nèi), 直角邊AC、BC與平面N成30°角, AC＝2, BC＝4, 則△ABC所在平面M與平面N所成二面角的大小為_______度.

Answer 1

答案：45
解析：

解: 如圖, 過A、B作平面N的垂線AD、BE, 垂足為D、E, 連結(jié)CD、CE,      則AD⊥DC, BE⊥CE, 并且由條件得  ∠ACD＝∠BCE＝30°. 所以 AD＝AC＝1,  BE＝BC＝2, CD＝AD＝, CE＝BE＝2,  從Rt△ABC得   AB2＝AC2+BC2＝22+42＝20; 從直角梯形ABED得  DE2＝AB2-(BE-AD)2＝20-(2-1)2＝19;  記∠DCE＝α, 并在△CDE中應(yīng)用余弦定理, 得 分別用S和S＇表示△ABC和△DCE的面積, 則 S＝AC·BC＝×2×4＝4, S＇＝DC·CEsinα＝××2×＝2. 設(shè)平面ABC與平面N所成的兩個互補二面角中, 較小的一個為θ, 則 S＇＝Scosθ, 所以 cosθ＝＝＝, 由此得θ＝45°, 即: △ABC所在平面與平面N所成二面角的大小為45°.

提示：

射影面積法.