Question

已知圓C₁的方程為，定直線l的方程為．動(dòng)圓C與圓C₁外切，且與直線l相切．

（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心C的軌跡M的方程；

（Ⅱ）直線與軌跡M相切于第一象限的點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線的垂線恰好經(jīng)過點(diǎn)A（0，6），并交軌跡M于相異的兩點(diǎn)P、Q，記為POQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），即為動(dòng)圓圓心C的軌跡M的方程；（II）。

【解析】

試題分析：（1）求解點(diǎn)的軌跡方程一般是先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后找到點(diǎn)所滿足的關(guān)系式，進(jìn)而得到結(jié)論。

（2）在第一問的基礎(chǔ)上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到直線PQ的方程，讓那后得到點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示面積。

解:（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為，動(dòng)圓半徑為R，

則，且

    可得 ．．．．．．．．．．．．．3分

由于圓C₁在直線l的上方，所以動(dòng)圓C的圓心C應(yīng)該在直線l的上方，所以有，

，整理得，即為動(dòng)圓圓心C的軌跡M的方程．．5分

（II）如圖示，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，．．．．．．．．6分

，所以直線PQ的方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

又,．點(diǎn)P在第一象限，，--9分

點(diǎn)P坐標(biāo)為（4,2），直線PQ的方程為．--------------10分

聯(lián)立得，解得或4，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．所以---------12分

考點(diǎn)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用線與圓相切得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用兩個(gè)圓相互外切，則說明圓心距等于半徑之和得到結(jié)論。