Question

（2011•濱州一模）定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于f（x）的命題：①f（x）是周期函數(shù)；
②f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)；
③f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減；
④f（-

1

2

）＞f（3），
其中正確命題的序號(hào)是

①②④

．（請(qǐng)?zhí)钌纤�有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：①利用周期函數(shù)的定義推導(dǎo)．②利用函數(shù)的奇偶性，推導(dǎo)．③利用函數(shù)的周期性與單調(diào)性的關(guān)系判斷．④利用函數(shù)的單調(diào)性與周期性判斷．

解答：解：①由f（x+1）=-f（x），得f（x+2）=f（x），所以函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，周期為2．所以①正確．
②因?yàn)閒（x+2）=f（x），且函數(shù)為偶函數(shù)，所以f（x+2）=f（-x），即f（1+x）=f（1-x），所以f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，所以②正確．
③因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是周期為2的函數(shù)且在[-1，0]上是增函數(shù)，所以f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，所以③錯(cuò)誤．
④因?yàn)閒（3）=f（1）=f（-1），且f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，所以f（-

1

2

）＞f（-1），即f（-

1

2

）＞f（3）成立，所以④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，周期性，對(duì)稱(chēng)性，以及單調(diào)性的應(yīng)用．要求熟練掌握函數(shù)的這些性質(zhì)的定義以及應(yīng)用．