Question

已知△ABC的頂點(diǎn)A（0，-4），B（0，4），且4（sinB-sinA）=3sinC，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是

y2

9

-

x2

7

=1（y＞3）

．

Answer 1

分析：利用正弦定理化4（sinB-sinA）=3sinC為邊的關(guān)系，然后直接利用雙曲線的定義得到軌跡方程．

解答：解：因?yàn)锳（0，-4），B（0，4），所以AB=8．
∵4（sinB-sinA）=3sinC，∴結(jié)合正弦定理得：4（AC-BC）=3AB=24，
∴AC-BC=6．
∴由雙曲線定義，得：
點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的上支（除雙曲線與AB的交點(diǎn)外）．
∵AB=8，∴2c=8，∴c=4，
∵AC-BC=6，∴2a=6，∴a=3，
∴b²=c²-a²=16-9=7．
∴點(diǎn)C的軌跡方程是：

y2

9

-

x2

7

=1．
令

y2

9

-

x2

7

=1中的x=0，得：y=3．
∴雙曲線的上支與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3）．
∴滿足條件的點(diǎn)C的軌跡方程是：

y2

9

-

x2

7

=1（y＞3）．
故答案為

y2

9

-

x2

7

=1（y＞3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，訓(xùn)練了正弦定理的用法，解答的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解雙曲線的定義，是中檔題．