Question

已知函數(shù)f（x）=1-e^λx（λ∈R且λ≠0）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x＞-1時(shí)，f(x)≥

x

x+1

恒成立，求出λ的值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=1-e^λx（λ∈R且λ≠0），得f′（x）=-λe^λx，由此能討論f（x）的單調(diào)性．
（2）當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）≥

x

x+1

恒成立等價(jià)于（x+1）e^λx-1≤0，設(shè)g（x）=（x+1）e^λx-1（x＞-1），則g（x）≤0恒成立，g（0）=0，g′（x）=（λx+λ+1）e^λx，若λ＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，有g(shù)（x）＞1×1-1=0，故g（x）≤0不恒成立，所以λ＜0，由g′（x）=0，得x0=-1-

1

λ

，由此列表討論得到當(dāng)f（x）≥

x

x+1

在（-1，+∞）上恒成立時(shí)，λ=-1．

解答：解：（1）∵f（x）=1-e^λx（λ∈R且λ≠0），
∴f′（x）=-λe^λx，
當(dāng)λ＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）是單調(diào)遞增；
當(dāng)λ＞0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，+∞）是單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）≥

x

x+1

恒成立等價(jià)于（x+1）e^λx-1≤0，
設(shè)g（x）=（x+1）e^λx-1（x＞-1），
則g（x）≤0恒成立，g（0）=0，
g′（x）=（λx+λ+1）e^λx，
若λ＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，有g(shù)（x）＞1×1-1=0，
故g（x）≤0不恒成立，
所以λ＜0，由g′（x）=0，得x0=-1-

1

λ

，

x	（-1，x0）	x0	（x0，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↑	極大值	↓

當(dāng)λ=-1時(shí)，x₀=0，g（x）在x=0取得最大值．
有g(shù)（x）≤g（0）=0，故g（x）≤0恒成立；
當(dāng)-1＜λ＜0時(shí)，x₀＞0，g（x）在[0，x₀]單調(diào)增．
有g(shù)（x₀）＞g（0）=0，故g（x）≤0不恒成立；
當(dāng)λ＜-1時(shí)，-1＜x₀＜0，g（x）在[x₀，0]單調(diào)減，
有g(shù)（x₀）＞g（0）=0，故g（x）≤0不恒成立．
所以當(dāng)f（x）≥

x

x+1

在（-1，+∞）上恒成立時(shí)，λ=-1．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的討論和求不等式恒成立時(shí)實(shí)數(shù)值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．