Question

【題目】如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，四邊形CDEF為正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）若點(diǎn)G是棱AB的中點(diǎn)，求證：EG∥平面BDF；
（Ⅱ）求直線AE與平面BDF所成角的正弦值；
（Ⅲ）在線段FC上是否存在點(diǎn)H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求 的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（I）證明：∵四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°， ∴CD=AB﹣2ADcos60°=1，即CD= AB．
∵CD EF，CD AB，又BG= AB，
∴EF BG，
∴四邊形EFBG是平行四邊形，
∴EG∥BF，
又EG平面BDF，BF平面BDF，
∴EG∥平面BDF
（II）解：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，∴BD= = ，
∴AD2+BD2=AB2 ， ∴AD⊥BD．
∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，DE⊥CD，
∴DE⊥平面ABCD．
以D為原點(diǎn)，以直線DA，DC，DE為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，如圖所示：
則A（1，0，0），E（0，0，1），B（0， ，0），D（0，0，0），F(xiàn)（﹣ ， ，1）
∴ =（﹣1，0，1）， =（0， ，0）， =（﹣ ， ，1），
設(shè)平面BDF的法向量為 =（x，y，z），則 ， =0，
∴ ，令z=1得 =（2，0，1），
∴cos＜ ＞= = =﹣ ，
設(shè)直線AE與平面BDF所成角為θ，則sinθ=|cos＜ ＞|= ．
（Ⅲ）解：設(shè)H（﹣ ， ，h），（0≤h≤1）
當(dāng)h=0時(shí)，顯然平面BDF與平面HAD不垂直，
則 =（﹣ ， ，h）， =（1，0，0），
設(shè)平面HAD的法向量為 =（x，y，z），則 ， ，
∴ ，令y= 得 =（0， ，﹣ ）．
假設(shè)存在點(diǎn)H，使得平面BDF⊥平面HAD，則 ，
∴ =﹣ =0，方程無解．
∴線段FC上不存在點(diǎn)H，使平面BDF⊥平面HAD．

【解析】（I）求出CD=1，證明四邊形EFBG是平行四邊形得出EG∥BF即可得出EG∥平面BDF；（II）建立空間坐標(biāo)系，求出平面BDF的法向量 和 的坐標(biāo)，則直線AE與平面BDF所成角的正弦值為|cos＜ ＞|；（III）假設(shè)存在H點(diǎn)滿足條件，求出平面HAD的法向量 ，令 =0，根據(jù)方程是否有解得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．