Question

關于x的二次方程6x²-（2m-1）x-（m+1）=0有一根為a，已知a滿足|a|≤2000，且使

3

5

a為整數(shù)，問m可取值的個數(shù)是多少？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由題意可得m=

6a2+a-1

2a+1

，再由△≥0，求得m的范圍．令a=

5

3

k，k∈z，可得

(10k+3)(5k-1)

10k+3

≤-3 或

(10k+3)(5k-1)

10k+3

≥-2，求得k≤-1，或 k≥0，k∈z．再由|a|=|

5k

3

|≤2000，可得|k|≤1500．確定出整數(shù)k的個數(shù)，可得m可取值的個數(shù)．

解答： 解：由題意可得，6a²-（2m-1）a-（m+1）=0，∴m=

6a2+a-1

2a+1

．
由△=（1-2m）²+24（m+1）≥0，求得 m≤-3，或 m≥-2．
再根據(jù)

3

5

a為整數(shù)，故可令a=

5

3

k，k∈z，
∴m=

6×25k2 9 + 5k 3 -1

10k 3 +1

=

50k2+5k-3

10k+3

，∴

50k2+5k-3

10k+3

≤-3，即

(10k+3)(5k-1)

10k+3

≤-3  ①；
或

5ok2+5k-3

10k+3

≥-2，即

(10k+3)(5k-1)

10k+3

≥-2 ②．
解①可得求得k≤-

4

5

，解②求得 k≥-

3

5

，且k≠-

3

10

．
故有k≤-1，或 k≥0，k∈z．
再由|a|=|

5k

3

|≤2000，可得|k|≤1500．
綜上可得，-1500≤k≤-1，或0≤k≤1500，故整數(shù)k共有1500+1501=3001 （個），
故m可取值的個數(shù)是3001．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，分式不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．