Question

8．求定積分${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$-x）dx．

Answer 1

分析 先根據(jù)定積分的幾何意義求出${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$=$\frac{π}{2}$，再根據(jù)定積分的法則求出${∫}_{0}^{4}$xdx，問題得以解決．

解答 解：${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$-x）dx=${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$dx-${∫}_{0}^{4}$xdx，
因為y²=1-（x-1）²表示以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓，
所以${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$表示以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓的面積一半，
所以${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$=$\frac{π}{2}$，
所以${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$-x）dx=${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$dx-${∫}_{0}^{4}$xdx=$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{2}{x}^{2}$|${\;}_{0}^{4}$=$\frac{π}{2}$-8

點評 本題考查了定積分的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．