Question

17．已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（1+x）=f（x-1），且當(dāng)x∈（-1，1]時(shí)，f（x）=|x|；y=g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=log₃x，則有方程f（x）=g（x）的根的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先根據(jù)函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x-1）=f（x+1），f（x+2）=f（x），得出f（x）是周期為2的周期性函數(shù)，再把方程f（x）=g（x）的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，利用圖象直接得結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x-1）=f（x+1），
∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期為2的周期性函數(shù)，
又x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=|x|，
根據(jù)函數(shù)的周期性畫出圖形，如圖
再在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=log₃x，的簡(jiǎn)圖，
將方程f（x）=g（x）的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，
由圖象可得，交點(diǎn)是2個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用、利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性求變量的取值范圍．是道中檔題．