Question

求關(guān)于x的方程ax²-（a²+a+1）x+a+1=0至少有一個(gè)正根的充要條件．

Answer 1

【答案】分析：法一：對(duì)a-0和a≠0進(jìn)行分類討論，至少有一個(gè)正根△≥0解出無(wú)正根的情況即可．
法二：對(duì)a-0和a≠0進(jìn)行分類討論，至少有一個(gè)正根，列出它的所有情況一一求解即可．
解答：解：法一：若a=0，則方程即為-x+1=0，
∴x=1滿足條件；
若a≠0，∵△=（a²+a+1）²-4a（a+1）
=（a²+a）²+2（a²+a）+1-4a（a+1）
=（a²+a）²-2a（a+1）+1=（a²+a-1）²≥0，
∴方程一定有兩個(gè)實(shí)根．
故而當(dāng)方程沒(méi)有正根時(shí)，應(yīng)有
，解得a≤-1，
∴至少有一正根時(shí)應(yīng)滿足a＞-1且a≠0，
綜上，方程有一正根的充要條件是a＞-1．
方法二：若a=0，則方程變?yōu)?x+1=0，x=1滿足條件，若a≠0，
則方程至少有一個(gè)正根等價(jià)于＜0或
或
?-1＜a＜0或a＞0．
綜上：方程至少有一正根的充要條件是a＞-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，考查分類討論的思想，是中檔題．