Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ax﹣cosx，a≠0．

（1）若函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

（2）若x∈[0，2π]，求：當(dāng)a≥時，函數(shù)f（x）僅有一個零點．

Answer 1

【答案】（1）或（2）詳見解析

【解析】

（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時恒成立，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減時，恒成立；（2）根據(jù)（1）可知當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)零點存在性定理可知只有一個交點，當(dāng)時，可得函數(shù)存在兩個極值點，，根據(jù)單調(diào)性可判斷，是極大值，是極小值，因為，，若函數(shù)只有一個零點，只需滿足，即可求得的取值范圍.

（1）解：由，可得,.

因為，

所以當(dāng)時，，為上的單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時，，為上的單調(diào)減函數(shù).

綜上，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則或.

（2）證明：當(dāng)時，由（1）可知為上的單調(diào)增函數(shù).

又，

所以函數(shù)在有且僅有一個零點，滿足題意.

當(dāng)時，

令，則.由于，所以，

從而必有，，使，且.

不妨設(shè)，且有，，

所以當(dāng)時，，為增函數(shù)；

當(dāng)時，，為減函數(shù)；

當(dāng)時，，為增函數(shù).

從而函數(shù)的極大值為，極小值為.

因為，所以，從而極大值.

又，

要使函數(shù)僅有一個零點，則極小值，

所以，即.

又，，

所以當(dāng)時，函數(shù)僅有一個零點.