【題目】如圖，已知垂直于梯形所在的平面，，為的中點，，.若四邊形為矩形，線段與交于點.

（1）證明：∥平面.

（2）求二面角的大小。

（3）在線段上是否存在一點，使得與平面所成角的大小為？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由。

【答案】（1）詳見解析；（2）（3）在線段上存在一點，且

【解析】

試題（1）連接在中，由題設知分別為中點，所以由此可證// 平面；

（2）如圖以為原點，分別以所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系利用空間向量的數(shù)量積求出平面ABC和平面PBC的法向量的坐標，由法向量的夾角公式求出求二面角的大小；

（3）首先假設存在點Q滿足條件．由設，再利用向量的夾角公式確定的值．

試題解析：解：（Ⅰ)連接在中，分別為中點，所以

因為

所以4分

（2）如圖以為原點，分別以所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系5分

則

設平面的法向量為則

即解得

令，得所以7分

因為平

所以，

由圖可知二面角為銳二面角，

所以二面角的大小為9分

（3）設存在點Q滿足條件．

由設，

整理得，11分

因為直線與平面所成角的大小為，

所以， 13分

則知，即點與E點重合．

故在線段上存在一點，且14分

練習冊系列答案
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