Question

11．已知點(diǎn)F（-2，0）在以原點(diǎn)為圓心的圓O內(nèi)，且過(guò)F的最短的弦長(zhǎng)為2．
（1）求圓O的方程；
（2）過(guò)F任作一條與兩坐標(biāo)標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意知：過(guò)F且垂直與x軸的弦長(zhǎng)最短，由此能求出圓O的方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為x=ky-2（k≠0），代入圓方程x²+y²=5，得（k²+1）y²-4ky-1=0，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知性質(zhì)能求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意知：過(guò)F且垂直與x軸的弦長(zhǎng)最短，
設(shè)圓O的半徑為r，則r=$\sqrt{5}$，
∴圓O的方程為x²+y²=5．…（6分）
（2）弦AB過(guò)F且與兩坐標(biāo)軸都不垂直，可設(shè)直線AB的方程為x=ky-2（k≠0），
并將它代入圓方程x²+y²=5，得：（ky-2）²+y²=5，即（k²+1）y²-4ky-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4k}{{k}^{2}+1}$，y₁y₂=$\frac{-1}{{k}^{2}+1}$，
設(shè)M（m，0），∵∠AMB被x軸平分，∴k_AM+k_BM=0，
即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$=0，y₁（x₂-m）+y₂（x₁-m）=0，
即y₁（ky₂-2）+y₂（ky₁-2）-（y₁-y₂）m=0，
∴2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+2）=0，
∴2k×$\frac{-1}{{k}^{2}+1}$-$\frac{4k}{{k}^{2}+1}$×（m+2）=0，
∵k≠0，∴1+2（m-2）=0，解得m=-$\frac{5}{2}$，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)（-$\frac{5}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求法，考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．