【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）= ﹣ （x為實(shí)常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在區(qū)間[ ]上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【答案】
（1）解：當(dāng)a=1時，函數(shù)φ（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ + ，

∴φ′（x）= = ；

x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0

∴函數(shù)φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上單調(diào)遞增

∴x=4時，φ（x）min=2ln2﹣


（2）解：方程e2f（x）=g（x）可化為x2= ﹣ ，∴a= ﹣x3，

設(shè)y= ﹣x3，則y′= ﹣3x2，

∵x∈[ ]

∴函數(shù)在[ ]上單調(diào)遞增，在[ ，1]上單調(diào)遞減

∵x= 時，y= ；x= 時，y= ；x=1時，y= ，

∴y∈[ ]

∴a∈[ ]


【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）化簡方程，分離參數(shù)，再構(gòu)建新函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若 、 是兩個相交平面，則在下列命題中，真命題的序號為（ ）
①若直線 ，則在平面 內(nèi)一定不存在與直線 平行的直線．
②若直線 ，則在平面 內(nèi)一定存在無數(shù)條直線與直線 垂直．
③若直線 ，則在平面 內(nèi)不一定存在與直線 垂直的直線．
④若直線 ，則在平面 內(nèi)一定存在與直線 垂直的直線．
A.①③
B.②③
C.②④
D.①④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 有最大值 ， ，且 是 的導(dǎo)數(shù)．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）證明：當(dāng) ， 時， ．

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【題目】已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 ，離心率為 ，經(jīng)過點(diǎn) 且傾斜角為 的直線 交橢圓于 兩點(diǎn)．

（1）若 的周長為16，求直線 的方程；
（2）若 ，求橢圓 的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f（x）是定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)，若對任意的x∈（0，+∞），都有 ，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.0＜a≤5
B.a＜5
C.0＜a＜5
D.a≥5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x|+|x+1|．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＞3；
（2）若x∈R，使得m2+3m+2f（x）≥0成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在矩形 中， 分別為 的中點(diǎn)，現(xiàn)將 沿 折起，得四棱錐

（1）求證： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求四面體 的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閇6a－1，a]，則a＋b＝( )
A.
B.－1
C.1
D.7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如果函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷：

①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增；
②函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減；
③函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增；
④當(dāng)x＝2時，函數(shù)y＝f(x)有極小值；
⑤當(dāng)x＝ 時，函數(shù)y＝f(x)有極大值．
則上述判斷中正確的是( )
A.①②
B.②③
C.③④⑤
D.③

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