Question

若橢圓mx²+ny²=1與y=1-x交于A、B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)連線的斜率為

2

，則

m

n

的值等于（　　）

• A．

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），由題意可得

y1+y2

x1+x2

=

y0

x0

=

2

，

y2-y1

x2-x1

=-1（1）
因?yàn)锳，B在橢圓上mx₁²+ny₁²=1，mx₂²+ny₂²=1，兩式相減可得m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0（2）

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），
由題意可得

y1+y2

x1+x2

=

y0

x0

=

2

，

y2-y1

x2-x1

=-1（1）
因?yàn)锳，B在橢圓上
所以mx₁²+ny₁²=1，mx₂²+ny₂²=1
兩式相減可得m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0（2）
（1）（2）聯(lián)立可得

m

n

=

2

故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓相交的性質(zhì)的應(yīng)用，要注意靈活應(yīng)用題目中的直線的中點(diǎn)及直線的斜率的條件的表示，本題中設(shè)而不求的解法是處理直線與圓錐取消相交中涉及到斜率與中點(diǎn)時(shí)常用的方法，比較一般聯(lián)立方程得方法可以簡(jiǎn)化基本運(yùn)算