Question

14．如圖：AB⊥面BCD，BC=CD，∠BCD=90°．∠ADB=30°，E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)．
（1）求證：平面BEF⊥平面ABC
（2）作BG∥CD，求證：BG是平面BEF與平面BCD的交線．

Answer 1

分析 （1）要證明面面垂直，可以證明線面垂直，則過這條直線的平面與直線垂直的平面垂直．
（2）AB⊥面BCD，BCD=90°，采用補(bǔ)形法，利用中點(diǎn)的連線成中位線，平行底邊即可證明．

解答 證明：（1）∵E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)，∴AE=EC，AF=FD；
∴EF∥CD
又∵AB⊥面BCD，∴AB⊥CD，
$\left.\begin{array}{l}{AB⊥CD，BC⊥CD}\\{AB∩BC=B}\end{array}\right\}$⇒CD⊥平面ABC，∵$\left.\begin{array}{l}{CD⊥平面ABC}\\{EF∥CD}\end{array}\right\}$⇒EF∥平面ABC
$\left.\begin{array}{l}{EF∥平面ABC}\\{EF?平面ACD}\end{array}\right\}$⇒平面BEF⊥平面ABC
得證
解：（2）連接GD，作AB的平行線，連接AM，MD（如圖所示），延長(zhǎng)EF交MD于N．
∵E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)，∴AE=EC，AF=FD；BG∥CD∥AM
∴EF∥CD，F(xiàn)N∥AM．N必為MD的中點(diǎn)，
∵EN∥BG，EN=BG．∴BGNE是平行四邊形．
同理：BGCD是平行四邊形．
∴平面BGDC∩平面BGEN=BG
∴作BG∥CD，BG是平面BEF與平面BCD的交線．證畢．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了證明面面垂直，可以證明線面垂直，則過這條直線的平面與直線垂直的平面垂直．題中有中點(diǎn)，考慮中位線的思想．采用補(bǔ)形法是在解決錐體類采用方法，必須熟悉并加以運(yùn)用．本題屬于基礎(chǔ)題．