分析 (1)由an+Sn=n,得a1=$\frac{1}{2}$,an+1+Sn+1=n+1,從而得到$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{2}$,由此能證明數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為-$\frac{1}{2}$,公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列.
(2先求出cn=-$\frac{1}{{2}^{n}}$,從而當(dāng)n≥2時,bn=an-an-1=$\frac{1}{{2}^{n}}$,由此能求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
解答 證明:(1)∵a1=S1,an+Sn=n,
∴a1+S1=2a1=1,解得a1=$\frac{1}{2}$.
又an+1+Sn+1=n+1,兩式相減得2(an+1-1)=an-1,
即$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2}$,∴$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{2}$,
∵${c}_{1}={a}_{1}-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$,
故數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為-$\frac{1}{2}$,公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列.
解:(2)∵數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為-$\frac{1}{2}$,公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列,
∴cn=-$\frac{1}{{2}^{n}}$,an=cn+1=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$,an-1=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$.
∴當(dāng)n≥2時,bn=an-an-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$.
又b1=a1=$\frac{1}{2}$,即bn=$\frac{1}{{2}^{n}}$(n∈N*).
∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=$\frac{1}{{2}^{n}}$(n∈N*).
點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的證明,考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -$\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | -$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
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A. | 196 | B. | 198 | C. | 200 | D. | 202 |
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A. | 4024 | B. | 4026 | C. | 4028 | D. | 4030 |
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