Question

已知函數的反函數為，設的圖象上在點處的切線在y軸上的截距為，數列{}滿足： 

（Ⅰ）求數列{}的通項公式；

（Ⅱ）在數列中，僅最小，求的取值范圍；

（Ⅲ）令函數數列滿足,求證：對一切n≥2的正整數都有 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范圍為；（Ⅲ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將函數的反函數求出來，可得，

再由 得 

是以2為首項，l為公差的等差數列，由此可得數列{}的通項公式

（Ⅱ）求出函數的反函數在點處的切線的截距即得

將，的通項公式代入得：

這是一個二次函數，但n只取正整數，畫出圖象可以看出當對稱軸介于與之間的時候，就僅有最小，，解這個不等式即可得的取值范圍

（Ⅲ）由題設可得：結合待證不等式可看出，可將這個等式兩邊取倒數，這樣可得： ，從而

 

又遞推公式可知，各項為正，所以

試題解析：（Ⅰ）

∴函數的反函數 

則得 

是以2為首項，l為公差的等差數列，故             （3分）

（Ⅱ） 在點處的切線方程為

令， 得

            （6分）

依題意，僅當時取得最小值，

，解之

∴的取值范圍為                   （8分）

（Ⅲ）故 

又故，

 

又

故                              （14分）

考點：1、數列與不等式；2、函數的反函數；3、利用導數求切線