Question

已知如圖，拋物線與x軸相交于B（，0）、C（，0） (

均大于0)兩點(diǎn), 與y軸的正半軸相交于A點(diǎn). 過(guò)A、B、C三點(diǎn)的⊙P與y軸相切于點(diǎn)A，其面積為 .

（1）請(qǐng)確定拋物線的解析式；

（2）M為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線MB交⊙P于點(diǎn)D．若△AOB與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似，求MB•MD的值．（先畫(huà)出符合題意的示意圖再求解）．

 

 

Answer 1

（1）；（2）或.

【解析】

試題分析： （1）首先由⊙P的面積為可知，圓半徑，然后取出中點(diǎn)為E，連接，，由圓心距的性質(zhì)知，再由勾股定理和圓性質(zhì)可求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo).最后將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程得到方程組，求解之即可.

（2）根據(jù)弦切角定理可知，，因此本小題可分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，且AD是圓P的直徑，可根據(jù)∽和∽得出關(guān)于、、、的對(duì)應(yīng)成比例線段求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)切割線定理可得，即可得出所求的值；②當(dāng)時(shí)，思路與①相同，也是先求出的長(zhǎng)，可根據(jù)直線的解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后通過(guò)∽，求出的長(zhǎng)，后面同①即可.

試題解析：（1）根據(jù)題意知：圓半徑，取中點(diǎn)為E，連接，，則，

且，，由勾股定理和圓性質(zhì)知：，從而知：.

將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程可得：拋物線的解析式為.

（2）根據(jù)題意知，，所以和相似有兩種情況:

①和，此時(shí)是的直徑，則，，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721102733333268/SYS201411172110403807252096_DA/SYS201411172110403807252096_DA.018.png">∽，所以，即.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721102733333268/SYS201411172110403807252096_DA/SYS201411172110403807252096_DA.018.png">∽，所以，即.

②和對(duì)應(yīng)，此時(shí)BD是⊙P的直徑，所以直線MB過(guò)P點(diǎn).

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721102733333268/SYS201411172110403807252096_DA/SYS201411172110403807252096_DA.050.png">，，所以直線MB的解析式是：，所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，由∽得，，所以.

① ②

考點(diǎn)：拋物線的綜合應(yīng)用.