Question

如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是棱,

上的點(diǎn)，,
（1）  求異面直線與所成角的余弦值；
（2）  證明平面
（3）  求二面角的正弦值。

Answer 1

,

方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè),依題意得,
,,
（1）  解：易得,
于是
所以異面直線與所成角的余弦值為
（2）  證明：已知,,
于是·=0，·=0.因此，,,又
所以平面
(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即
不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量。
于是，從而
所以二面角的正弦值為
方法二：（1）解：設(shè)AB=1，可得AD=2,AA₁=4,CF=1.CE=
鏈接B₁C,BC₁，設(shè)B₁C與BC₁交于點(diǎn)M,易知A₁D∥B₁C，由,可知EF∥BC₁.故是異面直線EF與A₁D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以異面直線FE與A₁D所成角的余弦值為
（2）證明：連接AC，設(shè)AC與DE交點(diǎn)N 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823143359546656.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，從而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因?yàn)镃C₁⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE.
連接BF，同理可證B₁C⊥平面ABF,從而AF⊥B₁C,所以AF⊥A₁D因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823143359749519.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以AF⊥平面A₁ED
(3)解：連接A₁N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A₁N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A₁N,故為二面角A₁-ED-F的平面角
易知，所以，又所以，在
連接A₁C₁,A₁F 在
。所以
所以二面角A₁-DE-F正弦值為