已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且當x>0時,f(x)<0,又f(1)=-2
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)求證:f(x)為R上的減函數(shù);
(3)求f(x)在區(qū)間[-3,3]上的值域.
考點:抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題:計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析:(1)取x=y=0代入f(x+y)=f(x)+f(y)可得f(0)=0,再取y=-x可判斷f(x)為奇函數(shù);
(2)由單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性;
(3)由(2)知f(x)在R上為減函數(shù),故對任意x∈[-3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(-3),從而求f(3)及f(-3)即可求出值域.
解答: 解:(1)取x=y=0,則f(0+0)=2f(0),
∴f(0)=0.
取y=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x)對任意x∈R恒成立,
∴f(x)為奇函數(shù).
(2)證明:任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,則x2-x1>0,
f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x2)<-f(-x1),
又f(x)為奇函數(shù),
∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)是R上的減函數(shù).
(3)由(2)知f(x)在R上為減函數(shù),
∴對任意x∈[-3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(-3),
∵f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=-2×3=-6,
∴f(-3)=-f(3)=6,
故f(x)在[-3,3]上的值域為[-6,6].
點評:本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)的判斷與證明,同時考查了函數(shù)的值域的求法,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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在同一直角坐標系中,直線
x
3
+
y
4
=1與圓x2+y2+2x-4y-4=0的位置關系
 

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在(0,2π) 內(nèi),使sinx>cosx成立的x的取值范圍是( 。
A、(
π
4
,
π
2
)∪(π,
4
B、(
π
4
,π)
C、(
π
4
,
4
D、(
π
4
,π)∪(
4
2

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某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本c(x)=1200+
2
75
x3(萬元),已知產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比,生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元,則產(chǎn)量定為
 
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1
a
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(1)求g(a)的解析式;
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x
<x,則下列說法正確的是( 。
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C、命題p∧q是真命題
D、命題p∨(¬q)是假命題

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(a1+a2)2
b1b2
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