Question

已知函數(shù)f(x)=cos(x-

2π

3

)-mcos(x+

2π

3

)（m∈R）的圖象經過點p（0，0）
（I） 求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）△ABC的內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若f(B)=

3

2

，b=1，c=

3

，且a＞b，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)圖象經過P點，把P的坐標代入函數(shù)解析式中，利用特殊角的三角函數(shù)值化簡后，求出m的值，確定出函數(shù)解析式，并利用和差化積公式化簡為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）把x=B代入第一問化簡后的函數(shù)解析式中，令f（B）=

3

2

，可得出sinB的值，由b小于c得到B為銳角，可得出B的度數(shù)，進而確定出sinB的值，再由b與c的值，利用正弦定理求出sinC的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，利用三角形的內角和定理可得出A的度數(shù)，即可確定出三角形ABC的形狀．

解答：解：（I）將點P（0，0）代入函數(shù)解析式得：cos（0-

2π

3

）-mcos（0+

2π

3

）=0，
即-

1

2

（1-m）=0，解得：m=1，
∴f(x)=cos(x-

2π

3

)-cos(x+

2π

3

)
=-2sin

x- 2π 3 +x+ 2π 3

2

sin

x- 2π 3 -x- 2π 3

2

=

3

sinx，
∵ω=1，∴T=

2π

1

=2π，
則函數(shù)f（x）的最小正周期為2π；
（Ⅱ）f（B）=

3

sinB=

3

2

⇒sinB=

1

2

，
∵c＞b，∴B=

π

6

，
又b=1，c=

3

，
∴sinC=

csinC

b

=

3

2

，
∴C=

π

3

，或C=

2π

3

，
當C=

2π

3

時，A=B，而已知a＞b，得到A＞B，
故C=

2π

3

不合題意，舍去，
∴C=

π

3

，
∴A=π-（B+C）=

π

2

，
則△ABC為直角三角形．

點評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，三角形形狀的判斷，涉及的知識有：積化和差公式，正弦定理，三角形的邊角關系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．