Question

17．如圖，在△ABC中，D，E是BC上的兩個三等分點，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$=4，則BC的長度為3．

Answer 1

分析 由已知求出${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}$，然后由$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$求解$|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$，則答案可求．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，
且$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）•（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}）$=$（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}）$
=$（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）•（\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}）$=$\frac{5}{9}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{2}{9}（{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}）=4$，
得$\frac{10}{9}+\frac{2}{9}（{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}）=4$，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}=13$．
∴$|\overrightarrow{BC}{|}^{2}=（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）^{2}={\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}-2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=13-4=9．
∴$|\overrightarrow{BC}|=3$．
故答案為：3．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．