Question

實數(shù)x，y滿足x²+y²+2x-4y+1=0，
求（1）

y

x-4

的最大值和最小值；
（2）2x+y的最大值和最小值；
（3）

x2+y2-2x+1

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心坐標(biāo)和半徑，

y

x-4

 表示圓上的點（x，y）與點A（4，0）連線的斜率，過點A的圓的切線有兩條，一條是x軸，另一條是AM，AM的斜率最小，x軸的斜率最大．
（2）令 2x+y=t，t表示過圓上的點且斜率等于-2的直線在y軸上的截距，當(dāng)直線2x+y=t與圓相切時得到的t值，一個最大，另一個最�。�
（3）

x2+y2-2x+1

=

(x-1)2+y2

 表示圓上的點與點B（1，0）連線的長度，最大值是|CB|加上半徑2，
最小值是|CB|減去半徑2．

解答：解：x²+y²+2x-4y+1=0 即 （x+1）²+（y-2）²=4，
表示一個以C（-1，2）為圓心，以2為半徑的圓，如圖：
（1）

y

x-4

 表示圓上的點（x，y）與點A（4，0）連線的
斜率，
設(shè)圓的切線斜率為k，圓的切線方程為 y-0=k（x-4），
即 kx-y-4k=0，由 2=

|-k-2-4k|

k2+1

，k=0 或-

20

21

，
結(jié)合圖形知，

y

x-4

 的最大值為0，最小值為-

20

21

．
（2）令 2x+y=t，t表示過圓上的點且斜率等于-2的
直線在y軸上的截距，
當(dāng)直線2x+y=t和圓相切時，有 2=

|-2+2-t|

5

，∴t=±2

5

，
故 2x+y的最大值為 2

5

，最小值為-2

5

．
（3）

x2+y2-2x+1

=

(x-1)2+y2

 表示圓上的點與點B（1，0）連線的長度，
圓心C（-1，2）到點B（1，0）的長度是 2

2

，
∴

x2+y2-2x+1

  的最大值2

2

+2，最小值為 2

2

-2．

點評：本題考查斜率公式的應(yīng)用，直線在y軸上的截距的意義，點到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．