實數(shù)x,y滿足x2+y2+2x-4y+1=0,
求(1)的最大值和最小值;
(2)2x+y的最大值和最小值;
(3)的最大值和最小值.
【答案】分析:(1)把圓的方程化為標準形式,求出圓心坐標和半徑, 表示圓上的點(x,y)與點A(4,0)連線的斜率,
過點A的圓的切線有兩條,一條是x軸,另一條是AM,AM的斜率最小,x軸的斜率最大.
(2) 令 2x+y=t,t表示過圓上的點且斜率等于-2的直線在y軸上的截距,當直線2x+y=t與圓相切時得到的t值,
一個最大,另一個最小.
(3)= 表示圓上的點與點B(1,0)連線的長度,最大值是|CB|加上半徑2,
最小值是|CB|減去半徑2.
解答:解:x2+y2+2x-4y+1=0 即 (x+1)2+(y-2)2=4,
表示一個以C(-1,2)為圓心,以2為半徑的圓,如圖:
(1) 表示圓上的點(x,y)與點A(4,0)連線的斜率,
設圓的切線斜率為k,圓的切線方程為 y-0=k(x-4),
即 kx-y-4k=0,由 2=,k=0 或-20,
結合圖形知, 的最大值為0,最小值為-20.
(2) 令 2x+y=t,t表示過圓上的點且斜率等于-2的直線在y軸上的截距,
當直線2x+y=t和圓相切時,有 2=,∴t=±2,
故 2x+y的最大值為 2,最小值為-2
(3)= 表示圓上的點與點B(1,0)連線的長度,
圓心C(-1,2)到點B(1,0)的長度是 2,
  的最大值2+2,最小值為 2-2.
點評:本題考查斜率公式的應用,直線在y軸上的截距的意義,點到直線的距離公式的應用,體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

實數(shù)x,y滿足x2+y2+2x-4y+1=0,
求(1)
y
x-4
的最大值和最小值;
(2)2x+y的最大值和最小值;
(3)
x2+y2-2x+1
的最大值和最小值.

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