Question

設(shè)橢圓E: （a,b>0），短軸長為4，離心率為，O為坐標(biāo)原點，

（I）求橢圓E的方程；

（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，求出該圓的方程，若不存在說明理由。

Answer 1

解:（1）因為橢圓E: （a,b>0）,b=2,  e=

所以解得所以橢圓E的方程為……… 5分

（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,   ……… 7分

則△=,即

②     ,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,……… 11分

此時圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.……… 13分