Question

設(shè)橢圓E: （a,b>0），短軸長(zhǎng)為4，離心率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

（I）求橢圓E的方程；

（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，求出該圓的方程，若不存在說(shuō)明理由。

Answer 1

解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）,b=2,  e=

所以解得所以橢圓E的方程為……… 5分

（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線(xiàn)方程為解方程組得,即,   ……… 7分

則△=,即

②     ,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本�(xiàn)為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線(xiàn),所以圓的半徑為,,,所求的圓為,……… 11分

此時(shí)圓的切線(xiàn)都滿(mǎn)足或,而當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)切線(xiàn)為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿(mǎn)足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.……… 13分