Question

過原點(diǎn)的直線l與拋物線y=x²-2ax（a＞0）所圍成的圖形面積為

9

2

a3，求直線l的方程．

Answer 1

分析：設(shè)l的方程為：y=kx，將直線與拋物線方程聯(lián)解，得到兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0與2a+k．由此分2a+k≥0與2a+k＜0兩種情況討論，根據(jù)定積分計(jì)算公式與微積分的幾何意義建立關(guān)于a、k的方程，解出k值即可得到所求直線l的方程．

解答：解：設(shè)l的方程為：y=kx，由

y=kx y=x2-2ax

，解得x=0或x=2a+k
（1）若2a+k≥0，則可得
S=

∫

2a+k 0

(kx-x2+2ax)dx=

(k+2a)3

6

=

9

2

a3，解之得k=a．
∴所求直線l方程為：y=ax．
（2）若2a+k＜0，則可得
S=

∫

0 2a+k

(kx-x2+2ax)dx=-

(k+2a)3

6

=

9

2

a3，解之得k=-5a
∴所求直線l方程為：y=-5ax．
綜上所述，直線l的方程為y=ax或y=-5ax．

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線與拋物線圍成的封閉圖形的面積，求直線的方程．著重考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系、微積分計(jì)算公式和微積分的幾何意義等知識(shí)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．