Question

【題目】在五面體中， ， ， ， ，平面平面..

（1）證明：直線平面；

（2）已知為棱上的點(diǎn)，試確定點(diǎn)位置，使二面角的大小為.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）點(diǎn)靠近點(diǎn)的的三等分點(diǎn)處.

【解析】試題分析：⑴證明一條直線垂直一個(gè)平面，只需要證明這條兩個(gè)平面垂直，直線垂直兩個(gè)平面的交線即可。證明，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面， ，即可得到直線平面

⑵根據(jù)題意，取的中點(diǎn)，證明， ， 兩兩垂直，以為原點(diǎn)， ， ， 為， 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)行計(jì)算，確定點(diǎn)靠近點(diǎn)的的三等分點(diǎn)處

解析：（1）證明：∵，∴，

∴四邊形為菱形，∴，

∵平面平面，平面平面，

∵，∴平面，

∴，又∵，

∴直線平面.

（2）∵，∴為正三角形，

取的中點(diǎn)，連接，則，∴，

∵平面平面， 平面，平面平面，

∴平面，

∵，∴， ， 兩兩垂直，

以為原點(diǎn)， ， ， 為， 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

∵， ，

∴， .

由（1）知是平面的法向量，

∵， ，

設(shè)，則.

設(shè)平面的法向量為，

∵， ，∴，

令，則， ，∴，

∵二面角為，

∴

，解得.

∴點(diǎn)靠近點(diǎn)的的三等分點(diǎn)處.