Question

把直線y=

3

3

x繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，使它與圓x2+y2+2

3

x-2y+3=0相切，則直線旋轉(zhuǎn)的最小正角是（　　）

• A．

  π

  3

• B．

  π

  2

• C．

  2π

  3

• D．

  5π

  6

Answer 1

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心A的坐標(biāo)和圓的半徑r，根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)直線與圓相切時(shí)的方程為y=kx，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線的距離d，使d=r列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系求出此時(shí)直線的傾斜角，再求出開始旋轉(zhuǎn)時(shí)的傾斜角，兩角相減即可求出直線的旋轉(zhuǎn)角，即為所求的最小正角．

解答：解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+

3

）²+（y-1）²=1，
∴圓心A的坐標(biāo)為（-

3

，1），半徑r=1，
根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

設(shè)此時(shí)圓的切線方程為y=kx，
則有圓心到直線的距離d=

| 3 k+1|

1+k2

=r=1，
整理得：k（k+

3

）=0，
解得k=0（舍去）或k=-

3

，
∴切線方程為：y=-

3

x，此時(shí)直線的傾斜角∠2=

2π

3

，
又直線y=

3

3

x的傾斜角∠1=

π

6

，
則直線旋轉(zhuǎn)的最小正角是

2π

3

-

π

6

=

π

2

．
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，直線斜率與傾斜角的關(guān)系，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握這一性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．