Question

6．已知函數(shù)f（x）=（x²-2x）e^x，關(guān)于f（x）的性質(zhì)，有以下四個推斷：
①f（x）的定義域是（-∞，+∞）；
②函數(shù)f（x）是區(qū)間（0，2）上的增函數(shù)；
③f（x）是奇函數(shù)；
④函數(shù)f（x）在x=2處取得最小值．
其中推斷正確的個數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①根據(jù)函數(shù)的解析式求出f（x）的定義域是R；
②對f（x）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性即可；
③根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性判斷f（x）不是奇函數(shù)；
④根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性判斷f（x）在x=2處不能取得最小值．

解答 解：對于①，函數(shù)f（x）=（x²-2x）e^x，其定義域是（-∞，+∞），正確；
對于②，f′（x）=（x²-2）e^x，令f′（x）=0，解得x=±$\sqrt{2}$，
∴x∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）時(shí)f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
x∈（$\sqrt{2}$，+∞）時(shí)f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上不是增函數(shù)，②錯誤；
對于③，f（-x）=[（-x）²-2（-x）]e^-x=（x²+2x）e^-x
≠（x²-2x）e^x=-f（x），∴f（x）不是奇函數(shù)，③錯誤；
對于④，f（x）在（-∞，$\sqrt{2}$）和（$\sqrt{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
在x∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在x=2處不能取得最小值，④錯誤；
綜上，正確的命題個數(shù)是1．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，是中檔題．